В равнобедренном треугольнике АВС центры описанной и вписанной окружностей являются симметричными относительно основания . Найдите углы треугольника ABC.
Решение
1) Центр вписанной окружности всегда расположен внутри треугольника , в точке пересечения биссектрис.
Центр описанной окружности , в данной задаче ,по условию должен находится вне треугольника ( для симметричности относительно основания АС) ; и находится в точке пересечения серединных перпендикуляров .
2) Пусть В-центр Вписанной окружности , О-центр Описанной окружности для ΔАРС ,АР=СР .
Тогда АВ,СВ- биссектрисы равных углов при основании АС ⇒ ∠ВАН=∠ВАР=∠ВСР=∠ВСН обозначим за α .
Т.к. точки В и О симметричны относительно АС , то ВН=ОН , где Н∈АС и РН-серединный перпендикуляр . Тогда ΔНАВ=ΔНАО=ΔНСВ=ΔНСО как прямоугольные по двум катетам.Получаем ∠ОАН=∠ВАН=∠ОСН=∠ВСН=α
3) Т.к О равноудалена от концов отрезка РС , по свойству серединного перпендикуляра , то ΔОРС-равнобедренный ⇒∠ОРС=∠ОСР=3α . Поэтому ∠ОРК=3α ( РН-сер. перпендикуляр , биссектриса).
4) ΔАРС , по т. о сумме углов треугольника ∠А+∠Р+∠С=180° или 2α+6α+2α=180° , α=18°
∠А=∠С=2*18°=36°, ∠Р=6*18°=108°
..
Объяснение:
Пусть угол А:угол В:угол С=2:3:10
Найдём для начала углы треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°.
Решим с уравнения:
2х+3х+10х=180
15х=180
х=180:15
х=12
Угол А=2*12=24°
Угол В=3*12=36°
Угол С=10*12=120°
Внешний угол А смежный с углом А(внутренний угол треугольника). Сумма смежных углов равна 180°.
Внешний угол А=180°-24°=156°
Внешний угол В смежный с углом В(внутренний угол треугольника). Сумма смежных углов равна 180°.
Внешний угол В=180°-36°=144°
Внешний угол С смежный с углом С(внутренний угол треугольника). Сумма смежных углов равна 180°.
Внешний угол С=180°-120°=60°
