this is Sanjar, he works in a restaurant. He had such a problem that he did not cook well, but he studied. A day later, Sanjar began to cook food very well.

Очень смешная задачка, меня порадовала.
Пусть точка пересечения упомянутых в условии отрезков - это точка M.
Предположим, что я построил плоскость ACM.
Тогда центр окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит в этой плоскости (потому что этот центр лежит на прямой AM), и следовательно, в этой плоскости лежит биссектриса угла BCD.
Точно также, в этой плоскости ACM лежит центр окружности, вписанной в треугольник ABD (как "конец" отрезка CM), и, следовательно, в плоскости ACM лежит биссектриса угла DAB.
Ну, значит, эти биссектрисы имеют общую точку (конец) на отрезке BD.
Что означает, в частности, что AD/AB = CD/CB;
AD = AB*CD/CB = 8*7/5 = 11,2

Я кучу времени потратил, пытаясь выяснить, не являются ли стороны тетраэдра касательными к одной сфере, но это оказалось ложным следом (и неверно!)

1.Расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр

Расстоянием между двумя параллельными прямыми является их общий перпендикуляр/ часть перпендикуляра к этим параллельным прямым заключенная между ними

2.Свойств у параллельных прямых много.Ну например,через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

ну или вот:если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

3.Опять неккоректный вопрос,ну вот:Если накрест лежащие углы равны то прямые параллельны.

Если соответственные углы равны то прямые параллельны.

Если сумма односторонних углов равна 180 то прямые параллельны.