2. В треугольнике ABC внутренний угол при вершине 4 равен 63°, а внутренний при вершине Сравен 75°. Найдите внешний угол при вершине В СОР ЛАЮ

Объяснение: ЗАДАНИЕ 3.3

Если боковое ребро составляет с основанием угол 45, то треугольник, который образуют высота и основание пирамиды является прямоугольным и равнобедренным, в котором высота пирамиды и проэкция рёбра на основание являются катетами а боковое ребро - гипотенузой, поэтому высота пирамиды тоже будет 10см. Также в прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в √2 раз больше катета, поэтому боковое ребро=10√2см. Если провести апофему, то она делит боковую грань и сторону основания пополам, образуя при этом 2 прямоугольных треугольника, поскольку боковая грань тоже является равнобедренным треугольником, поэтому апофема является биссектрисой и высотой. Так как сторона основания дклится пополам то половина основания будет 10/2=5см. Найдё апофему по теореме Пифагора:

Апоф²=(10√2)²-5²=100×2-25=200-25=175;

Апоф=√175=√3×25=5√3см

Апоф=5√3см.

Теперь найдём площадь боковой грани пирамиды по формуле:

Sбок.гр=½×а×h, где а- сторона основания, а h- апофема, (высота) проведённая к этой стороне.

Sбок.гр=½×10×5√3=5×5√3=25√3см². Так как таких граней в пирамиде 3 то мы можем найти площадь боковой поверхности: Sбок.пов=25√3×3=75√3см²

ОТВЕТ: Sбок.пов=75√3

ЗАДАНИЕ 3.4

Боковое ребро и высота пирамиды вместе с основанием образуют прямоугольный треугольник, в котором проэкция бокового рёбра на основание и высота пирамиды являются катетами а боковое ребро - гипотенузой. Найдём величину проэкция на основание по теореме Пифагора:

Проэк²=бок.р²-выс²=5²-3²=25-9=16;

Проэк=√16=4см

Если провести вторую такую же проэкцию от соседнего ребра, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором 2 проэкции являются катетами а сторона основания - гипотенузой и катеты равны между собой. Гипотенуза в равнобедренном прямоугольном треугольнике больше катета в √2 раз, поэтому сторона основания =4√2см. Так как в правильной четырёхугольной пирамиде в основании лежит квадрата, то его площадь вычисляется по формуле: S=a², где а - его сторона. Найдём площадь основания используя эту формулу: Sосн=(4√2)²=16×2=32см²

Теперь, зная основание пирамиды и её высоту найдём её объем по формуле:

V=⅓×Sосн×h, где h- высота пирамиды:

V=⅓×32×3=32см³.

ОТВЕТ: V=32см³

1) Для начала построим данное сечение:
Для построения сечения требуется построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединить их отрезками:
а) Можно соединять только две точки, лежащие в плоскости одной грани.
Точки В и С лежат в одной плоскости,
значит, соединяем эти точки и получаем отрезок ВС, но ВС уже построен в ходе построения прямой призмы.
Точки В и К лежат в одной плоскости → получаем отрезок ВК
б) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.
Грани ВВ1С1С и АА1D1D параллельны
В противном случае эти грани пересекались бы, что противоречит условию: ВС || AD , B1C1 || A1D1 ( по свойству трапеции АВСD и A1B1C1D1 )
Через точку К проводим прямую, паралельную прямой ВС → получаем точку L.
Но также ВС || KL, BC || AD → AD || KL || A1D1 ( AD = KL = A1D1 = 4 см ) и АК = КА1. Значит, DL = LD1 ( AK = KA1 = DL = LD1 )
Точки C и L лежат в одной плоскости → получаем отрезок CL

Из этого следует, что четырёхугольник BCLK – данное по условию сечение.

АВСD – равнобедренная трапеция → АВ = CD
Боковые рёбра прямой призмы равны: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1
Значит, прямоугольники АВВ1А1 и CDD1C1 равны. Соответственно равны и отрезки ВК и CL.
Следовательно, сечение BCLK – равнобедренная трапеция ( ВС || КL, BK = CL )

2) В трапеции АВСD опустим высоту АМ на ВС. По свойству прямой призмы КА перпендикулярен плоскости АВС, в которой лежит проекция АМ наклонной КМ. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах КМ перпендикулярен ВС.
Из этого следует, что угол АМК – линейный угол двугранного угла АВСК, то есть угол АМК = 60°.

3) Площадь трапеции BCLK равна:
S bclk = 1/2 × ( KL + BC ) × KM
48 = 1/2 × ( 4 + 8 ) × КМ
48 = 6 × КМ
КМ = 8 см

Рассмотрим ∆ АМК (угол КАМ = 90°):
cos AMK = AM/KM
AM= KM × cos AMK = 8 × cos60° = 8 × 1/2 = 4 см
По теореме Пифагора:
КМ² = АМ² + АК²
АК² = 8² – 4² = 64 – 16 = 48
АК = 4√3 см
АА1 = 2 × AK = 2 × 4√3 = 8√3 см

Обьём прямой призмы рассчитывается по формуле:
V ( призмы ) = S осн. × h

V ( призмы ) = S abcd × AA1 = 1/2 × ( AD + BC ) × AM × AA1 = 1/2 × 12 × 4 × 8√3 = 192√3 см²

ОТВЕТ: V ( призмы ) = 192√3 см²