Вариант 2 На рисунке 1 m || n || k. Найдите длину отрезка х. а)2 см; б) 3 см; в)10 см; г) 32 см.

1) a+b = 180 градусов,
b = a-40 градусов,
a+(a-40) = 180,
2a = 180+40 = 220,
a = 220/2 = 110,
b=110 - 40 = 70.
ответ. 110 градусов.
2) Если хорда перпендикулярна диаметру, то она сама делится пополам этим диаметром (докажи!).
Таким образом отрезки, на которые делится хорда диаметром это 15 см и 15 см. А отрезки, на которые делится диаметр хордой будут, t и (9t). По известной теореме для пересекающихся хорд имеем.
15*15 = t*9t,
15^2 = 9(t^2) = (3t)^2,
3t = 15;
t = 15/3 = 5 см.
D = t + 9t = 10t = 10*5 = 50 см.
ответ. 50 см.

здесь можно использовать тот факт, что смежный к углу в 120 градусов угол = 60 градусов

продолжим сторону АВ и опустим из А1 _|_ на АВ (обозначим точку М)

также построим перпендикуляры из А1 к стороне АС (АС2) и биссектрисе ВВ1 (АВ2):

А1М _|_ АВ, А1С2 _|_ АС, А1В2 _|_ ВВ1

точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла (верно и обратное утверждение: равноудаленная от сторон угла точка лежит на биссектрисе этого угла).

А1 по построению лежит на биссектрисе угла САВ => А1М=А1С2

т.к. смежный к углу АВС угол СВМ = 60 градусов = СВВ1=В1ВА, то А1В ---биссектриса угла МВВ1 => А1М = А1В2 = А1С2

а теперь из равенства А1В2 = А1С2 делаем вывод, что А1В1 будет биссектрисой угла СВ1В

т.е. углы СВ1А1 = А1В1В равны.

аналогичные построения и рассуждения докажут, что В1С1 ---биссектриса угла ВВ1А (здесь продолжить сторону СВ, угол смежный с СВА ---АВК=60 градусов... и опускать перпендикуляры из С1 на АС, СВ, ВВ1)

итак, получили равенство углов: СВ1А1 = А1В1В и ВВ1С1 = С1В1А

развернутый угол СВ1А = 180 = СВ1А1+А1В1В+ВВ1С1+С1В1А = 2*А1В1В + 2*ВВ1С1 = 

2*(А1В1В + ВВ1С1) = 2*А1В1С1 =>

А1В1С1 = 180/2 = 90 градусов