253. Скільки діагоналей можна провести з однієї вершини опуклого семикутника? Знайдіть загальну кількість діагоналей опуклого семикутника. и еще на фото №253,257,258,260,261 и все

1 Правильный четырехугольник это квадрат.

Пусть сторонs квадрата равны а, a = 4.

А) Радиус вписанной окружности перпендикулярен одной из сторон квадрата в точке касания, и равен половине стороны квадрата, то есть

R = a/2 = 4/2 = 2 (см).

Б) Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, по формуле из общей формулы:

R = a*b*c/(4*S), где a, b, c – стороны произвольного треугольника, S – площадь треугольника.

Частный случай, когда треугольник равносторонний и, применяя теорему синусов:

R = b/(2*sin α), в равностороннем треугольнике все углы равны 60, b – сторона равностороннего (правильного) треугольника.

R = b/(2*sin 60), sin 60 = √3/2.

R = b/√3.

b = R*√3 = 2√3 (см).

2 а) Дуги АВ, ВС, СД и АД равны, значит АВСД - вписанный квадрат.

Длина окружности: С=4ВС=16π см.

С=2πR ⇒ R=C/2π=16π/2π=8 см - это ответ.

б) Диагональ квадрата - это диаметр окружности.

d=D=2R=16 см.

Искомые хорды равны сторонам квадрата: а=d/√2=16/√2=8√2.

АВ=ВС=СД=АД=8√2 см - это ответ.

Если гипотенуза АВ параллельна оси Ох, то точки А и В - противоположные.
A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1
Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1
|AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2
|BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2
По теореме Пифагора
|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2
(x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2
x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0
2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0
x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0
 (y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2
Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2
(x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2
Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1.
(x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1
Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит, 
y1 - y2 = 1
Но разность ординат - это и есть высота треугольника.