У трикутнику АВС відомо, що кут С- прямий, BAC=60°, відрізок AK - бісектриса, відрізок СК на 3 см менший, ніж відрізок ВК. Знайдіть бісектрису АК трикутника АВС?

Геометрический
S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.
Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.
По теореме косинусов для тех же треугольников:
AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);
AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);
СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).
Сложим эти равенства:
AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).
Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,
S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.
Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. 
MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.

Тригонометрический
Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит 
MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)).
После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.

1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.

Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.

Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:

АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм

Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:

C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см

2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:

Sсеч = π · r² = 36π

r² = 36

r = 6 см

Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:

ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.

3. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Площадь сечения:

Sсеч = πr²

Площадь большого круга:

S = πR², R = √(S/π)

Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²

По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒

r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2

В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.

Тогда ∠А = 30°.

Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен

OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)

4. Радиус шара равен половине диаметра:

R = 2√3 см

Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому

ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см

Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²