– катеты; AB=c – гипотенуза.
Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, .
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, .
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: . Аналогично: .
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.
Аналогично: .
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .
Доказать:.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .
Отсюда получаем: .
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: .
Примечание:
Доказательство
, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: – прямоугольный (), .
Найти:
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .
ответ: .
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
Xvatit.com (Источник).
Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .
Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур
поверхности листьев, то семена покрытосеменных созревают внутри плодов. Покрытосеменные растения ещё называют цветковыми растениями потому, что все цветковые растения, изученные нами ранее, относятся к покрытосеменным. Вместо шишки голосеменных у них появился цветок. Они отличаются друг от друга размером, формой, оттенком цветов. Цветы при к опылению с ветра, насекомых. В зависимости от строения и жизнедеятельности различают много видов цветковых растений. Они при к различным условиям обитания, поэтому широко распространены на Земле. Жизненные формы покрытосеменных разнообразны: деревья, кустарники, травы.
Цветок — это орган полового размножения, потому что он содержит в себе мужские гаметы в зёрнах пыльцы, материнскую завязь, а также семяпочку. После опыления и оплодотворения в завязи образуется семя; оболочка завязи, развиваясь, даёт плод. Значит, семена цветковых растений созревают внутри плода.
Некоторые цветковые растения живут очень короткое время. Например, пажитник, василёк, пастушья сумка и др. живут около двух месяцев. А секвойя, дуб, орех, вишня и т. п. могут прожить сотни и тысячи лет.
Некоторые покрытосеменные могут быть настоящими исполинами. Высота австралийских эвкалиптов может быть выше ста метров.
Стебли большинства покрытосеменных растут вертикально, наряду с этим могут встречаться вьющиеся, цепляющиеся, ползучие и стелющиеся стебли. Строение корневища некоторых покрытосеменных растений подверглось значительным изменениям. Форма и строение листьев и стеблей цветковых растений, а также их корневая система очень разнообразны. Для того чтобы изучить и понять такое разнообразие цветковых растений, используются таксономические единицы для их систематизации. Они делятся на виды, рода, семейства, классы, отделы.
Собрание особей, имеющих одно родство, сходных по внешнему, внутреннему строению с родителями, называют видом. Близкие по родству и и строению виды объединяются в рода.
Например, подорожники с широкими и узкими листьями относятся к одному роду (рис. 139). В Кыргызстане растут 7 видов подорожника. Они между собой не скрещиваются. Значит, только особи одного вида могут скрещиваться и давать потомство. А разные виды не скрещиваются.Чтобы закрепить фрагмент, нажмите на него и удерживайте. Незакрепленные объекты будут удалены через час.поверхности листьев, то семена покрытосеменных созревают внутри плодов. Покрытосеменные растения ещё называют цветковыми растениями потому, что все цветковые растения, изученные нами ранее, относятся к покрытосеменным. Вместо шишки голосеменных у них появился цветок. Они отличаются друг от друга размером, формой, оттенком цветов. Цветы при к опылению с ветра, насекомых. В зависимости от строения и жизнедеятельности различают много видов цветковых растений. Они при к различным условиям обитания, поэтому широко распространены на Земле. Жизненные формы покрытосеменных разнообразны: деревья, кустарники, травы.
Цветок — это орган полового размножения, потому что он содержит в себе мужские гаметы в зёрнах пыльцы, материнскую завязь, а также семяпочку. После опыления и оплодотворения в завязи образуется семя; оболочка завязи, развиваясь, даёт плод. Значит, семена цветковых растений созревают внутри плода.
Некоторые цветковые растения живут очень короткое время. Например, пажитник, василёк, пастушья сумка и др. живут около двух месяцев. А секвойя, дуб, орех, вишня и т. п. могут прожить сотни и тысячи лет.
Некоторые покрытосеменные могут быть настоящими исполинами. Высота австралийских эвкалиптов может быть выше ста метров.
Стебли большинства покрытосеменных растут вертикально, наряду с этим могут встречаться вьющиеся, цепляющиеся, ползучие и стелющиеся стебли. Строение корневища некоторых покрытосеменных растений подверглось значительным изменениям. Форма и строение листьев и стеблей цветковых растений, а также их корневая система очень разнообразны. Для того чтобы изучить и понять такое разнообразие цветковых растений, используются таксономические единицы для их систематизации. Они делятся на виды, рода, семейства, классы, отделы.
Собрание особей, имеющих одно родство, сходных по внешнему, внутреннему строению с родителями, называют видом. Близкие по родству и и строению виды объединяются в рода.
Например, подорожники с широкими и узкими листьями относятся к одному роду (рис. 139). В Кыргызстане растут 7 видов подорожника. Они между собой не скрещиваются. Значит, только особи одного вида могут скрещиваться и давать потомство. А разные виды не скрещиваются.Чтобы закреплять, добавлять или удалять фрагменты, используйте значок редактирования.Нажмите на фрагмент, чтобы вставить его в текстовое поле.
