в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см а угол между биссектрисой и высотой проведёнными из вершины прямого угла равен 15 градусов найти катеты треугольника

1) Длина отрезка, содержащего два других, равна сумме длин меньших отрезков. 
2) Сумма углов, образованных пересечением двух прямых - 360 градусов. 
Сумма неизвестных вертикальных 360-108=252 градуса, а каждого из них половине, т.е. 126 градусов. 
3)
Угол начертите с транспортира. Продлите одну из его сторон и получите смежный угол. 
Сумма смежных углов 180 градусов, значит, величина второго угла 
180-78=102 градуса, а его половина 51 градус. 
Отложите в получившемся смежном - 51 градус и соедините точку с вершиной углов. Получите биссектрису.
См. рисунки во вложении. 

Длина отрезка (модуль) |АВ|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²] или |АВ|=√(16+4] = 2√5.
Длина отрезка (модуль) |СD|=√[(Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²] или
|CD|=√[(Xd-4)²+(Yd+2)²]. Условие: |АВ|=|CD|. Тогда
√[(Xd-4)²+(Yd+2)²]=2√5.
Возведем обе части в квадрат:
(Xd-4)²+(Yd+2)²=20 (1) -это уравнение окружности с центром в точке С(4;-2) радиусом R=2√5.
Точка D лежит на этой окружности.
Но для того, чтобы выполнялось условие равенства векторов АВ=CD и АВ=DC, необходима их коллинеарность (параллельность), сонаправленность и равенство по модулю.
Проведем через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Для этого:
Уравнение прямой АВ:
(х-1)/(-4)=(y-2)/(-2), ее направляющий вектор р(-4;-2).
Тогда уравнение прямой CD, проходящей через точку С(4;-2), параллельной прямой АВ :
(х-4)/(-4)=(y+2)/(-2) или x-2y-8=0 или y=(x-8)/2 (2).
Решим систему уравнений (1) и (2):
x²-8x+16+y²+4y+4=20 или, подставив значение y из (2),
4x²-32x+х²-16х+64+8х-64=0 или
5х²-40х=0. Отсюда х1=0,y1=-4  и x2=8  y=0.
Итак, координаты точки D1(0;-4) и D2(8;0).

Вектор АВ={-4;-2}, вектор СD1{-4;-2}, модуль |CD1|=2√5;
вектор D2C{-4;-2}, модуль |D2C|=2√5.
Вектора АВ и CD1 коллинеарны (n=1), сонаправлены и равны по модулю.
Вектора АВ и D2С коллинеарны (n=1), сонаправлены и равны по модулю.
Условие выполнено.
ответ: точка D1(0;-4), точка D2(8;0).