Через вершину тупого кута трапеції проведено пряму паралельно одній із її бічних сторін. При цьому площа трапеції поділилась у вошенні 2 : 1. У якому відношенні поділиться площа трапеції, якщо провести її діагональ?

6

если < 1 = < 2, то a || b (по свойств паралельности прямых

если < 2 + < 3 = 180°, то c || b (по тому - же свойству)

т. к. a || b и c || b, то a || c (по аксиоме паралельных прямых)

7

m || n || k (ничего доказывать не надо)

8 сам не знаю

9

т. к. a || b, то < 1 + < 2 = 180°

мы знаем, что < 1 больше < 2 в 2 раза. получаем уравнение, где 2x = < 1, x = < 2

2x + x = 180

3x = 180

x =60

< 2 = 60°, < 1 = 60° × 2 = 120°

остальные углы можно найти по свойству равенства углов и смежных углов

Обозначим прямоугольник АВСД.
 Диагональ АС.
На неё из вершины В опущен перпендикуляр ВК,
 и по условию АК=9, КС=16. ВК это общая высота в прямоугольных треугольниках АВК и СВК.
Отсюда по теореме Пифагора АВ квадрат-АК квадрат=ВС квадрат-КС квадрат. Или АВ квадрат-81=ВС квадрат-256. Отсюда ВС квадрат=АВ квадрат+175. 
В треугольнике АВС также АВ квадрат+ ВС квадрат= АС квадрат.
Или АВ квадрат+ВС квадрат=(9+16)квадрат.
 АВ квадрат+ ВС квадрат=625.
Подставим сюда ранее найденное выражение для ВС квадрат и получим АВ квадрат+(АВ квадрат+175)=625.
Отсюда АВ=15. ВК=корень из(АВ квадрат-АК квадрат)=корень из(225-81)=12.
 Искомый тангенс угла ВАК, tg=ВК/АК=12/9=4/3.