Линия ABC параллельна линии DEF. Если BG перпендикулярен CE, если AD параллелен BG, если GF перпендикулярен EF, если BG=4m, GC=3m и AD=12м. Найдите a) длину BC, б) площадь треугольника ABD и в) длина GF.

Очень просто. Обозначим катеты как a и b. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 15^2 = 225. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: a*b*0.5 = 54. Составляем систему из этих двух уравнений. Решаем подстановкой, допустим, возьмем катет a: a = 54/(0.5*b) = 54*2/b = 108/b. Далее подставляем в первое уравнение. Только не пугайся, числа большие: (108/b)^2 + b^2 = 225; 11664/b^2 + b^2 = 225. Умножаем обе части на b (в этом отношении мы можем делать что угодно, ведь длина катета - величина положительная) : 11664 + b^4 = 225*b^2. Переносим все в левую часть: b^4 - 225*b^2 + 11664 = 0. Заменим b^2 на x, тогда b^4 = x^2: x^2 - 225x +11664 = 0. Решаем квадратное уравнение: дискриминант равен (-225)^2 - 4*1*11664 = 50625 - 46656 = 3969 = 63^2. Далее находим корни: x1 = (-(-225) - 63)/2*1 = (225-63)/2 = 162/2 = 81. Т. е. x1 = 81, а значит b1 = корень квадратный из 81 = 9 (помним: длина катета - величина положительная) . Т. е. один катет мы уже нашли - он равен 9 см. Второй корень уравнения лучше не искать, второй катет можно найти из подстановки a = 108/b = 108/9 = 12. Все. Мы нашли катеты, они равны 9 см и 12 см соответственно. Задача решена. Можно сделать проверку: площадь равна 0.5*a*b = 0.5*12*9 = 54 см^2.

Извини наверно  опечатки в условии
1. Сумма углов  треугольника 180. 180-90-45=45 Значит треугольник равносторонний и его катеты равны. Биссектриса  в равностороннем треугольнике делит сторону и угол пополам и  образует два новых равносторонних треугольника со сторонами равными 4  АД =4 АВ=8
В остальных задачах свойства углов и биссектрисы, то, что против угла в 30 градусов лежит сторона равная половине гипотенузы
г). в треугольнике треугольник АВД равносторонний  углы равны 45 градусов - значит и стороны равны и равны 5 АД=5 см ДС лежит против угла в 30 - значит равна половине вс или 7/2 = 3.5  АС=5+3.5= 8.5