Точка р равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника. найдите расстояние отточки р до его вершин, если сторона шестиугольника равна 4, а расстояние от точки р до плоскости шестиугольника равно 8.

Пусть PO - перпендикуляр к плоскости шестиугольника, тогда РО = 8.

РА = PB = PC = PD = PE = PF по условию, РО - общий катет для треугольников РАО, PBО, PCО, PDО, PEО и PFО, значит эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Тогда точка О равноудалена от вершин шестиугольника, т.е. О - центр окружности, описанной около правильного шестиугольника.

Радиус ее равен стороне, т.е. ОА = АВ = 4.

ΔРОА: ∠РОА = 90°, по теореме Пифагора

            РА = √(PO² + AO²) = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5