Основанием пирамиды abcdk является равнобедренная трапеция с основаниями ad и bc и острым углом 45 градусов, ab=4корень из 2 см. боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов. найдите объем пирамиды. !

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.
Радиус вписанного в трапецию круга равен половине высоты  этой трапеции - основания пирамиды. 
Высота ВМ трапеции равна боковой стороне, умноженной на синус 45º.
h=BM=4√2•√2/2=4 (см)
⇒ ОН=ВМ:2=2 (см)
Т.к. высота пирамиды перпендикулярна ее основанию, ∆ КОН - прямоугольный. КО=ОН•tg30º=2:√3
V=S•h:3
В равнобедренную трапецию вписан круг, ⇒ суммы оснований равны сумме боковых сторон, а полусумма оснований равна одной боковой стороне. (свойство)
Площадь трапеции S=h•(AD+BC):2=4•4√2=16√2 см²
V=¹/₃(16√2)•2:√3=¹/₃•(32√2):√3=32√6:9 см³