1) Угол ВАС= углу ВСА, Угол ОАС= углу АСО=1/2 угла ВАС (или угла ВСА), значит
ΔАОС- равнобедренный, так как его углы при основании равны.
2) Из прямоугольного ΔАВА₁ находим угол ВАМ (равный углу ВАА₁)=180-(90+67)=23⁰
Из прямоугольного ΔАВВ₁ находим угол АВМ (равный углу АВВ₁)=180-(90+55)=35⁰
Угол АМВ=180-(23+35)=122⁰
3) Угол СОА=углу ДОВ, как вертикальные
ΔАСО и ΔДВО- равнобедренные, значит углы АСО, АОС, ДОВ и ВДО равны между
собой, значит и угол САО=углу ОВД, следовательно ΔАСО = ΔДВО, и OC=OD
Как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;)))
Смотрим на основание призми. Во вписанной в шестиугольник окружности проводим радиус, который будет перпендикулярен стороне шестиугольника. Теперь если мы соединим две вершины шестиугольника и его центр, у нас получится треугольник, где высотой будет как раз радиус, равный 
. Он будет равносторонним, так как у шестиугольника (правильного) радиус описанной(!) окружности равен стороне.
Далее мы находим сторону шестиугольника по теореме Пифагора (предварительно разделив треугольник надвое, с общей высотой). 
Меньшая диагональ призмы будет проходить через боковую грань и отрезок в шестиугольнике. Найдем отрезок по теореме косинусов. 
Находим саму диагональ по теореме Пифагора: 
