Восновании призмы лежит правильный трегольник. найдите сторону основания, если площадь боковой поверхности призмы равна 62 , 7 , а высота призмы 1 , 9 .

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.

Пусть а - сторона меньшего треугольника, b - большего, R - радиус окружности.

По теореме синусов a = 2Rsin(60)= Rкорень(3). (Это можно получить сотней без теоремы синусов)

Для большего треугольника R - радиус вписанной окружности. 

(Для правильного треугольника центры вписанной и описанной окружности совпадают с точкой пересечения медиан, и отрезок медианы - любой - от вершины до точки пересечения медиан - это радиус описанной окружности, а от точки пересечения медиан до стороны - это радиус вписанной окружности. Поскольку точка пересечения медиан делит медиану на отрезки в пропорции 2/1, то радиус описанной окружности у правильного треугольника в два раза больше радиуса вписанной окружности)

Поэтому у большего треугольника радиус описанной окружности 2R, и b = 4Rsin(60).

Отсюда b = 2a, так же относятся и периметры, а отношение площадей равно 4.