Чертежи во вложении.
№1. Скорее всего автор совершил описку, и условие читать надо так: "Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла."
Пусть ВМ-биссектриса тупого угла, пересекающая сторону АД в точке М, тогда АМ:МД=2:1.
Т.к. ∠1=∠2 (определение биссектрисы угла) и ∠2=∠3 (накрестлежащие при АД||ВС и секущей ВМ), то ∠1=∠3. Тогда ∆АВМ-равнобедренный с основанием ВМ, боковые стороны АМ=АВ.
Пусть МД=х, тогда АМ=АВ=2х, СД=АВ=2х, АД=ВС=3х.
Периметр параллелограмма Р=(АВ+ВД)*2. Получим уравнение:
2(2х+3х)=60
5х=30
х=6
Значит, МД=6.
АВ=2*6=12 - меньшая сторона параллелограмма.
ответ: 12.
№2. Объем пирамиды V=⅓·Sосн·H.
1) Проанализируем основание пирамиды -трапецию АВСД. Т.к. АВ=СД=1, то АВСД-равнобедренная. Проведем высоты ВН и СТ.
Sосн=½·(ВС+АД)·ВН.
ВС=НТ=1, АН+ТД=2-1=1.
Из равенства пямоугольных ∆АВН и ∆СТД следует, что АН=ТД=1/2=0,5.
Таким образом в прямоугольном ∆АВН гипотенуза АВ в 2 раза больше катета АН, значит, ∠АВН=30°, ∠ВАН=60°. Находим высоту ВН=АВ·cos30°=√3/2.
2) Определим куда проецируется вершина М пирамиды. Поскольку ребра пирамиды МА=МВ=МС=МД, то их проекции на полскость (АВСД) - это отрезки ОА=ОВ=ОС=ОД. Значит, О-центр описанной окружности.
∠ВАД=60°, отсюда ⌣ВСД=120°.
Равенство хорд АВ, ВС и СД влечет за собой равенство дуг АВ, ВС и СД. Тогда ⌣ВС=⌣СД=120°:2=60°, а значит, и ⌣АВ=60°. Тогда ⌣АВСД=180° и АД-диаметр описанной около трапеции окружности. Тогда О лежит на диаметре АД. ОА=ОВ=ОС=ОД=½АД=1
Найдем высоту пирамиды МО из прямоугольного ∆МОД.
В равностороннем ∆АМД МО- медиана, биссектриса, высота. По теореме Пифагора
ответ: 3/4.
Сделаем рисунок к задаче.
Так как окружность вписана в трапецию, ее диаметр равен высоте трапеции, которая, в свою очередь, равна АВ ( т.к. углы А и В трапеции по условию равны 90°, и потому АВ равна высоте трапеции - расстоянию между ВС и АD)
Проведем диаметр трапеции через ее центр параллельно АВ.
Обозначим точку касания М ( диаметр перпендикулярен к касательной АД) .
АМ по условию равна 20 см.
Отсюда r=АМ=20 см,
D=Н= 40 см
AB=D=40 см.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
Трапеция - четырехугольник, и т.к. в нее вписана окружность,
АВ+СD=ВС+АD.
АD=20+25=45 см
Пусть ВС =х
Тогда
СD=АD+ВС - АВ=45+х-40=х+5
Опустим из вершины С перпендикуляр СН на АД.
Получим прямоугольный треугольник СНД, в котором
СН=АВ=40 см
СD=х+5
НD=АD-ВС=45-х
Выразим из этого треугольника СД по т.Пифагора
СD²=СН²+НD²
(х+5)²=40²+(45-х)²
2025-90х+х²+1600=х²+10х+25
3600=100х
х=36
ВС=36 см
АD+ВС=45+36=81
АВ+СD=40+(36+5)=81
Периметр трапеции
Р=81+81=162 см
