Скільки площин перпендикулярних даній прямій можна провести через точку на даній прямій ? ​

"Умножение катет" это видимо их произведение?
a+b+c=30
ab=60
Вспоминаем теорему Пифагора:
a²+b²=c²
Прибавляем к обеим частям 2ab:
a²+2ab+b²=c²+2ab
(a+b)²=c²+120
Для удобства заменим a+b на х:
х²=с²+120
Или:
с²=х²-120
Но в то же время 
a+b+c=30, или
х+с=30
с=30-х
с²=(30-х)²=900-60х+х²
Приравниваем два выражения для квадрата гипотенузы:
х²-120 = 900-60х+х²
60х = 1020
х=17
Итак, мы знаем:
a+b=17
ab=60
Выражаем:a = 17-b
(17-b)b=60
17b-b²=60
b² - 17b + 60 = 0
D = 289 - 4*60 = 49 = 7²
b = (17+-7)/2 = {12;5}
Собственно мы и получили пару возможных значений - или a=5, b=12, или наоборот, это неважно.

Чтобы доказать равенство треугольников, в них надо найти три пары соответственно равных элементов. Сделайте себе подсказку.

1 признак. в нем вы должны найти по две равные стороны и углу между ними. И сделать вывод о равенстве треугольников.

2 признак. там надо доказать равенство стороны и двух прилежащих к ней углов.

3. самый легкий. Докажете, что три стороны одного равны трем сторонам другого, и треугольники окажутся равными.

Теперь. как искать эти элементы. Они могут быть равны по условию. по свойствам, например, в параллелограмме противоположные стороны равны. Углы. это могут быть вертикальные. Их надо уметь видеть. т.к. о равенстве вертикальных в условии сказано не будет. Дальше.. общую сторону тоже надо уметь подмечать.

Теперь по Вашему вопросу. Почему картинка одна. а применить к ней не один иногда, а несколько признаков можно? Это зависит от мастерства поиска Вашего. Вот что отыщете, то и используете при доказательстве. Отыщете по три равные стороны, окажется, что можно применить третий признак. А заметите, например здесь же две стороны и... ну пусть вертикальные углы, примените первый признак.