Центр вписанной в остроугольный равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношение 5: 3. найдите радиус описанной окружности, если высота, проведенная к основанию равна 32 см. с рисунком

Т. к. центр вписан. окр-ти делит высоту в отношении 5/3, то: BO/OH=5/3, BO+OH=32 = BH, отсюда можно найти BO=20 см. , OH = 12 см. 
OH - является радиусом ВПИСАННОЙ окружности, r =OH=12 см. 
треугольник ABC - равнобедр. , AB = BC. BH - высота, медиана и биссектриса, равна 32 см. 
радиус ОПИСАННОЙ окруж. можно найти по формуле: 
R = AB*BC*AC/4S =2*AС*AB^2/4S = AC*AB^2/2S 
S = 0.5 * AC*BH = 16AC 
R=AC*AB^2 /2*16*AC = AB^2/32 
Остается найти AB - тогда найдете и радиус описанной окружности.