Прямая, перпендикулярна биссектрисе угла a пересекает стороны угла в точках m и n, а биссектриса угла в точке p. докажите, что отрезок ap является медианой треугольника man. :

Треугольники МАР и NАР прямоугольные по условию. Т.к. МN перпендикулярна АР. А углы МАР и РАN равны, т.к. АР - биссектриса. АР - общая. Треугольники равны по катету и прилежащему острому углу. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. В треугольнике МАР против угла МАР лежит сторона МР, а в треугольнике РАN против угла РАN лежит сторона РN. Углы равны, значит и стороны тоже равны.  А раз стороны равны, то АР - медиана треугольника АМN.