Не могу решить. окружность, вписанная в равнобедренный треугольник авс, касается основания ас в точке м и боковой стороны ав в точке n. отрезки вм и сn пересекаются в точке к. найти радиус окружности, описанной около треугольника авс, если известно, что ас=12 и вк: км=4: 3.

Точка касания окружности с BC - T; P - точка пересечения NT и BM;
Ясно, что NT II AC. поэтому BN/AN = BP/PM;
Задано, что BK/KM = 4/3; поэтому KM/BM = 3/7; BK/BM = 4/7; 
BP/BM = PT/MC; из подобия BPT и BMC;
PT/MC = PT/AM = PK/KM; из подобия KPT и AKM;
то есть BP/BM = (BK - BP)/KM; или (BP/BM)*(KM/BM) = BK/BM - BP/BM;
(BP/BM)*(1 + KM/BM) = BK/BM; (BP/BM)*(1 + 3/7) = 4/7;
Получилось BP/BM = 2/5; что дает PM/BM = 3/5; BP/PM = 2/3;
Окончательно BN/AN = BP/PM = 2/3; поскольку AN = AM = AC/2 = 6; то BN = 4;
Треугольник ABC получился составленным из двух "египетских" треугольников - его стороны 10,10,12, откуда легко найти, что высота к основанию AC равна 8;
R = 10*10*12/(4*8*12/2) = 100/16 = 25/4;

Все сложности с решением на самом деле происходят от незнания теорем Чевы и Ван-Обеля. Я не могу понять, то ли эти теоремы не входят в программу (как было в моё время), то ли это "на усмотрение учителей". По-моему - глупость. Смотрите, как эта задача решается с теоремы Ван-Обеля.
BN/NA + BT/TC = BK/KM; откуда BN/NA = 2/3; далее - по тексту. 
Фактически приходится доказывать это для частного случая.