1) через точку а окружности проведены диаметр ас и две хорды ав и ад , равные радиусу этой окружности. найдите углы четырехугольника авсд и градусные меры дуг ав, вс, сд, ад. 2) дан ромб авсд. диагональ дв равна 10 см. высота дм равна 8 см. найдите сторону ромба.

№ 1
  АС- диаметр, угол АВС равен 90° как вписанный  угол опирающийся на диаметр, угол АDС -вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Проведем радиусы ВО и OD.

Треугольники АВО и ADO - равносторонние, все отрезки АВ,АО,ВО, AD, OD  равны радиусу окружности. Все углы в этих треугольниках равны  60°.

 Угол ВАО равен 60°, угол DAO равен 60°, значит угол DAB равен 60°+60°=120°
Сумма углов четырехугольника равна 360°. Угол DCB равен 360°-120°-90°-90°=60°

Дуга ВС равна 120°, так вписанный угол ВАС на неё опирающийся равен 60°,
Дуга CD равна 120°, угол DAC -вписанный и равен 60°.
Дуга АВ равна 60°, дуга AD  равна 60°. Угол АОВ - центральный угол, измеряется дугой,на которую он опирается. угол АОВ один из углов равностороннего треугольника и равен 60°, угол АОD тоже угол равностороннего треугольника и является центральным углом.

ответ. Дуга ВС равна 120°, дуга CD равна 120°, дуга АВ равна 60°, дуга AD  равна 60°.

№ 2.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BDM, DM -высота ромба.
По определению синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношеню противолежащего катета к гипотенузе:

sin MBD=DM/BD=8/10=4/5.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами соответствующих углов.
Значит угол CBD равен углу АВD, sin CBD=4/5
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН. СН - высота равнобедренного треугольника BCD, а значит и медиана ВН=BD=5

sin CBH=4/5, соs CBH=√1-(4/5)²=3/5
По определению косинус острого угла  равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
cos CBH=BH/BC
BC=BH/ cos CBH=5 : 3/5=25/3