Довжина кола , вписаного в прямокутну трапецію , дорівнює 24п , а більша бічна сторона дорівнює 25см. знайти основи трапеції ія !

Слишком сложная задача для

перед решением нужно ещё и довольно громоздкое доказательство

площадь боковой поверхности равна произведению высоты боковой грани на полупериметр основания. Но нужно доказать, что высоты у всех граней равны.
Кроме того нужно доказать, что высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности.

Здесь, по сути три задачи.

Площадь основания по формуле Герона = 48 кв.см
радиус вписанной окружности = площадь/п.периметр=48/16=3см
высота бок.грани = радиус/cos45=3√2
площ.боковая=3√2 * 16=48√2
ну и для полной добавить найденную площадь основания.
Для полного понимания, если вдруг захочется разобраться, читайте Атанасяна 2001, Геометрия-10, задачи 246-248 

Подробно. 

Пусть данный ромб АВСД. 

Высота ВН=12 см, диагональ ВД=13 см.

 Стороны ромба равны. 

Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.   

∆ АВД=∆ СВД.

   Проведем  в равнобедренном ∆ АВД высоту АМ к стороне ВД и высоту ВН к стороне АД. 

В ∆ ВНД катет НД=5 ( отношение сторон из Пифагоровых троек 5,12,13, можно проверить по т.Пифагора). 

ДМ=МВ=13:2=6,5 см, т.к. АМ высота и медиана равнобедренного треугольника ВАД. 

Прямоугольные ∆ ВНД и ∆ АМД подобны - имеют общий острый угол при Д. 

Из подобия следует: 

АМ:ВН=ДM:ДH. 

АМ•5=12•6,5

AM=15,6 см

S ∆ АВД=АМ•ВД/2

S АВСД= 2 S ∆ АВД. 

S АВСД=АМ•ВД=15,6•15=202,8 см²