Дві площини а і в перетинаються по прямій ав. чи можна стверджувати, що пряма, проведена на площині а паралельно площині в, завжди паралельна ав. чому?

Да. это следует из свойства параллельности прямой и плоскости, которое звучит так: 
если плоскость ( в данном случае Альфа) проходит через прямую, параллельную другой плоскости (в данном случае Бета) и пересекает эту плоскость по прямой (в данном случае АВ), то данная прямая параллельна линии пересечения плоскостей (то есть АВ)