Впрямоугольном неравнобедренном треугольнике авс из вершины с прямого угла проведены высота сн, медиана см и биссектриса сl. а) докажите, что cl является биссектрисой угла мсн. б) найдите длину биссектрисы cl, если сн=3, см=5

1) Пусть катет AC>BC
Медиана в прямоугольном тр-ке является радиусом описанной окружности⇒
CM=AM=BM⇒Тр-ник CMB - равнобедренный⇒угол MBC равен углу MCB=α - введем такое обозначение.
СH перпенд AB⇒угол CHB равен 90 гр
CL - биссектриса⇒угол ACL равен углу BCL=45 гр
Найдем углы MCL и LCH и покажем, что они равны
Угол LCH =угол BCL - угол BCH
Из прямоуг тр-ка CHB угол BCH=90-α⇒
Угол LCH =45-(90-α)=α-45
Угол MCL =угол MCB - угол BCL=α-45⇒
Угол LCH=Угол MCL⇒CL - биссектриса угла МСН
2) Биссектриса делит сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам⇒CM/CH=ML/LH=5/3
Пусть ML=5x; LH=3x⇒MH=8x⇒
Из прямоуг тр-ка MHC имеем:
CM^2=CH^2+MH^2⇒9+64x^2=25⇒64x^2=16⇒x^2=1/4⇒x=1/2⇒LH=3/2
CL^2=CH^2+LH^2⇒CL^2=9+9/4=45/4⇒CL=√45/4=3√5/2
ответ: 3√5/2