Соединим центры окружостей последовательно с А, В, С и D (cм. рисунок).
Получим 5 треугольников.
Поскольку АВ=ВС=СD, отрезки АВ и СD отсекают от окружностей равные дуги.
Потому центральные углы при них равны. Расстояния от центров окружности до прямой АD равны, как расстояние от центра до равных хорд.
=> АD и О₁О₂ параллельны. По свойству параллельных прямых все углы в полученных 5 треугольниках равны. Треугольники равносторонние.
Площадь равностороннего треугольника, выраженного через его сторону, равна
S=(а²√3):4.
Треугольников таких в данном четырехугольника 5, а сторона их равна радиусу.
Искомая площадь равна
S=(5R²√3):4
В задаче предполагается два решения, в зависимости от того, какую из сторон развёртки считать длиной прямоугольника, а какую-шириной.
1.Длина равна 15 см, а ширина 9 см.
Тогда в основании правильной призмы лежит правильный треугольник со стороной 15:3=5(см)
Площадь его равна 5^2 * sqrt{3}/4=25sqrt{3]/4(см кв)
Высота призмы равна 9 см.
Объём равен V=S*H=25sqrt{3}/4 * 9=225sqrt{3}/4(см куб)
2.Длина равна теперь 9 см, а ширина 15 см
Тогда в основании правильной призмы лежит правильный треугольник со стороной 9:3=3(см)
Площадь его равна 3^2 * sqrt{3}/4=9sqrt{3]/4(см кв)
Высота призмы равна 15 см.
Объём равен V=S*H=9sqrt{3}/4 * 15=135sqrt{3}/4 (см куб)
