Дан прямоугольный треугольник abc. острые углы в нем равны 18 и 72 градуса. больший катет равен 9,1. не используя инженерный калькулятор найдите второй катет.

Один катет = а =9,1
второй катет = х
гипотенуза = √(a^2 + x^2)
Если катет разделить на гипотенузу, то получим синус противолежащего угла
х/√(a^2 + x^2) = Sin 18
Осталось вычислить Sin18  без таблиц.
Посмотри, какой тут есть ход:
Sin 18 -?
Sin 3·18 = Sin 54 = Sin(90 - 36) = Cos 36
(синус тройного угла равен косинусу двойного.
Есть формула синуса тройного угла : Sin 3a = 3Sina - 4Sin^3 a.
Есть формула косинуса двойного угла: Cos 2a = 1 - Sin^2 a)
3Sin 18 - 4Sin^3 18 = 1 - Sin^2 18,
3Sin 18 - 4Sin^3 a -1 + Sin^2 18 = 0
Обозначим Sin 18 = t, получим 4 t^3 - 2t^2 - 3t +1 = 0/ Решаем его.
4t^3 - 4t^2 +2t^2 -3t +1 =0 (Группируем первые 2 слагаемых и остальные)
4 t^2(t - 1) + (t -1)(2t -1) = 0
(t -1)(4t^2 +2t -1) = 0
t - 1 = 0 или  4 t^2 +2t -1 = 0
t =1                  t = (-1 + √5)/4       t = ( -1 - √5)/4
Первый и третий корни не подходят. Значит t = (√5 -1)/4
Sin 18 = (√5 -1)/4
Теперь ищем неизвестный катет.
х / √(a^2 + x^2)  = (√5 - 1) / 4
осталось решить это уравнение.
x^2 /( a^2 + x^2) = (5 - 2√5 +1)/16
16x^2 = (6 - 2√5)( a^2 +x^2)
16 x^2 -(6 -2√5)x^2 = (6 - 2√5) ·a^2
x^2 ( 16 -6 + 2√5) = (6 - 2√5) ·a^2
x^2 = (6 - 2√5) ·a^2 / (10 + 2√5)
Осталось корень записать и подставить а = 9,1