Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
В ромбі протилежні сторони та протилежні кути рівні між собою. Оскільки сторона ромба ABCD дорівнює 8 см, то всі сторони ромба також будуть дорівнювати 8 см.
Більша діагональ AC поділить ромб на два рівних прямокутних трикутника. Позначимо середину діагоналі AC як точку E.
За до теореми Піфагора в прямокутному трикутнику AEC ми можемо знайти довжину меншої діагоналі BD. Відомо, що більша діагональ AC дорівнює 8√3 см, а сторона ромба AB дорівнює 8 см.
Застосовуючи теорему Піфагора:
BD² = AC² - AB²
BD² = (8√3)² - 8²
BD² = 192 - 64
BD² = 128
BD = √128
BD = 8√2 см
Тепер ми маємо всі сторони ромба ABCD: AB = BC = CD = DA = 8 см та BD = 8√2 см.
У ромбі всі кути рівні між собою, тому їх можна позначити як α.
Застосовуючи теорему косинусів в трикутнику ABD:
cos(α) = (AB² + BD² - AD²) / (2 * AB * BD)
cos(α) = (8² + (8√2)² - 8²) / (2 * 8 * 8√2)
cos(α) = (64 + 128 - 64) / (128√2)
cos(α) = 128 / (128√2)
cos(α) = 1 / √2
cos(α) = √2 / 2
Тепер, знаючи значення cos(α), можемо знайти значення α за до таблиці тригонометричних значень:
α = arccos(√2 / 2)
α ≈ 45°
Отже, усі кути ромба ABCD дорівнюють приблизно 45°.
