Из концов диаметра ав данной окружности проведены перпендикуляры аа1 и вв1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру ав.докажите, что точка касания является серединой отрезкаа1в1.( если можно, сделайте еще чертеж)

Пусть точка касания отрезка А₁В₁ и окружности будет М. 
АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны отрезку А₁В₁
ОМ - перпендикулярна  А₁В₁ как радиус, проведенный в точку касания. 
АА₁, ВВ₁ и ОМ параллельны. 
АВВ₁А₁ - прямоугольная трапеция. 
Точка О, как центр окружности,  делит диаметр  АВ пополам.
Т.К ОМ параллельна основаниям, ОМ - средняя линия трапеции. Следовательно, М А₁=МВ₁, что и требовалось доказать.