9класс , на второй фотке только 6

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС (мал. 417).2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку 

Один из углов равнобедренной трапеции равен 150°.                          Вычисли площадь трапеции, если её меньшее основание равно 13 см , а боковая сторона равна 40√3 см.                                                                                

Дано:

ABCD _равнобедренная  трапеция

AD ||  BC ;

∠ABC =∠DCB  =150° ;

AD  > BC = 13 см ;

AB  = DC =40√3 см,                                                                                                

S  = S(ABCD)  -?

ответ: площадь трапеции равно  1260√3 см² .

Объяснение:    AD || BC   ( AD |и BC  основания трапеции ABCD ) , поэтому   ∠A+∠ABC =180°

∠A = 180° -∠ABC =180° -150° =30°.

[  Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°. ]

Проведем BE ⊥ AD и CF ⊥  AD  .   Получается прямоугольник BEFC , еще два треугольникa  ABE   и  DCF .

Рассмотрим ΔABE :  

BE =AB/2 как катет против угла A=30°; BE =AB/2 = 20√3  (см)

По теореме Пифагора :  AЕ =√(AB²- BE²)

AЕ =√( (40√3)² - (20√3)² ) =√( (20√3)² (4 - 1) ) =20√3 *√3 =20*3 =60 (см)

ΔABE  =  ΔDCF   по катету и гипотенузе (  BE = CF и  AB =DC )

[ Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.  ]

⇒ AE =DF =60 см

S =0,5(AD +BC) *BE =0,5(AE +EF +FD +BC) *BE =

= 0,5(AE +EF +FD +BC) *BE =0,5(2AE +2BC) *BE = (AE+BC)*BE =

=(60 +13)*20√3 =73*20√3 = 1460√3 (cм²) .

Удачи !