Решить к экзамену по 7 класс. 1. в окружности с центром в точке опроведены три радиуса ob, oc,oa так что ∟аов=∟вос. докажите, что ∟оав=∟осв. 2. разность двух сторон тупоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см, а его периметр равен 38 см. найдите стороны треугольника 3. ∟ мрк является частью ∟ мрн, равного 105°. найдите ∟мрк, если известно, что он в четыре раза меньше ∟ крн. 4. на сторонах ав и вс треугольника авс взяты точки м и н соответственно; ∟ а = ∟вмн = 50°, ∟с=60°. найдите ∟мнс. 5.углы авd и авс смежные, луч во — биссектриса угла авd. найдите∟овd, если ∟авс=40°. 6.в треугольнике авс ав = вс. точки м и н середины сторон ав и вс. мd и he перпендикулярны к прямой ас. докажите, что ∆ амd = ∆ сне. 7. найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов; биссектрисами двух вертикальных углов. 8. в прямоугольном треугольнике авс (угол с-прямой) биссектрисы ск и ве пересекаются в точке о, угол вос=95º. найдите острые углы треугольника авс. 9. разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 42°. найдите все образовавшиеся углы. 10.на окружности с диаметром ав взята точка с, ∟сав = 70°. найдите ∟сва и ∟асв.

N1
т.к. OC,OB,OA - радиусы, то OA=OC=OB
угол COB=углу AOB по условию
Следовательно треугольники COB и AOB равны (по 2 сторонам и углу(первый признак))
N2
треугольник ABC-равнобедренный по условию
Значит AB=BC
Пусть AB- x,
тогда AC - (x+8),
а BC - x.
x+x+x+8=38
3x=30
x=10=AB=BC (см)
2)10+8=AC=18(см)
N3
Всего = 105 градусов(т.к. угол MPH - самый большой угол, в котором находятся более маленькие углы)
Пусть угол MPK - x,
тогда KPH - 4x.
x+4x=105
5x=105
x=21(градус)=MPK углу
N4
т.к. углы A и BMH равны, то MH параллельна AC ( соответственные углы)
Следовательно угол MHB = углу C = 60(градусов) ( соотв)
углы C и MHC - односторонние = 180 градусов ( т.к. стороны параллельны)
Следовательно угол MHC=180-уголC=120 ( градусов )
N5
т.к. углы CBA и ABD -смежные, то угол ABD=180- угол ABC= 140
BO-бис
Cледовательно 140/2=70(градусов)= углу OBD
N6
т.к. AB=BC, то треугольник ABC-равнобедренный
Значит углы A и С - равные
Следовательно AB/2= AM = MB  = BC/2 = BH = CH 
т.к. MD и HE - перпендикуляры,то углы ADM=HEC=90(градусов)
Следовательно треугольники AMD и HEC - прямоугольные
Они будут равны по гипотенузе и острому углу.
N7(1)
 Пусть ACB - острый угол, а BCD - тупой угол 
Проведем CF - бис и CE - бис
Значит углы ACF = FCB, а углы BCE = ECD
угол FCE = 90 (можно подставить например: тупой угол = 120,а острый угол = 60(т.к. сумма смежных равна 180),то углы FCB=ACF=30,а углы BCE=ECD=60,тогда 30+60=FCB+BCE=90=FCE)
N7(2)
Пусть ACB и DCE - вертикальные углы.
Проведем бис CO(угла ACB) и CM(угла ECD)
У нас получается, что бис переходят в единую прямую 
Значит OCM =180(градусов)
N8
СK-бис и BE-бис
т.к. треугольник ABC - прямоугольный , то углы KCB = ACK = 45 
угол СBO = 180 - ( COB + OCB)=40(т.к. сумма углов в треугольнике)
Следовательно угол B =40x2=80
Значит угол С=90-80=10 (т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике=90)
N9
Пусть CD пересекает AB в точке O
Cледовательно COA=DOB
сумма 2 раазвернутых углов(прямые) равна 360(градусов)
Пусть x - AOC=DOB(вертикальные углы),
тогда (x + 42) - COB=AOD
x+x+x+42+x+42
4x=276
x=69
2)COB=AOD(вертикальные)=69+42=111
N10
т.к. AB-диаметр,то AO= OB ( O-середина окр)
Проведем радиус CO
Значит AO=OC=OB
Следовательно треугольники AOC и OCB - равнобедренные
Значит углы CAB=OCA=70
угол AOC=180-70x2=40
угол COB = 180 - 40 =140
углы OCB = ABC = (180-140)/2=20