Восновании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с боковой стороной 12кор3 см и острым углом 60° . все её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30° . найдите объём пирамиды.

<BAC =<CDA =60° ; AB =CD =12√3 ;AD | | BC ;<SMO =30°

V =1/3*S*H    ? 
Все  боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под
одинаковым  углом  ( здесь 30°) , значит ее  высота   SO проходит через центр
 окружности вписанной в трапецию . 
h =12√3*sin60° =12√3*√3/2 =18.
r =h/2 =9.
SO=H =r*tq30°  =9*1/√3=9 /√3
S(ABCD) =(AD+BC)/2*h =AB *h ;
 [AD +BC =AB+CD свойство  описанного четырехугольника ]
V =1/3*216/√3*9 / √3 =648

В трапеции 2 угла по 60 градусов и 2 по 120. Эта трапеция вмещает в себя 3 равносторонних треугольника со сторонами 12√3. 
получим, что верхнее основание 12√3, а нижнее основание 24√3. 
найдём среднюю линию (24√3+12√3)/2=18√3
высота трапеции будет равна высоте одного такого тавностороннего треугольника, найдём её по т.Пифагора 
h²=12√3² - 6√3²=324; h=18
Sтрап. =18*18√3=324√3
Теперь найдём высоту пирамиды через тангенс
грани пирамиды к основанию наклонены под углом 30 градусов противолеж.сторона - высота, прилеж - половина средней линии трапеции.
tg30=√3/3
получим отношение (H-высота) 
H/9√3=√3/3; H=(√3*9√3)/3=9
V=1/3HS=(1/3)*9*324√3=972√3