Вправильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов . расстояние от центра основания до боковой грани равно корень из 6 см. найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Проекция апофемы на основание ОК = √6*√2 = √12 = 2√3.
Высота треугольника основания h и высота пирамиды H равны:
 h = H= 3*ОК = 3*2√3 = 6√3 (по свойству медиан).
Сторона основания а = h / (√3/2) = (6√3) / (√3/2) = 12 см.
Площадь основания So = (1/2)*h*a = (1/2)*6√3*12 = 36√3 см².
Апофема боковой грани равна А = ОК / sin 45° = (2√3) /(√2/2) =
= (4√3)/√2 = 2√6 см.
Площадь боковой грани Sбг = (1/2)*А*а = (1/2)*2√6*12 = 12√6.
Площадь боковой поверхности пирамиды Sбок = 3*Sбг = 
3*12√6 = 36√6 см².
Площадь полной поверхности пирамиды S = So + Sбок = 
= 36√3 + 36√6 = 36(√3 + √6) =  150.5355 см².