Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 , а основание равно 16 . на какие отрезки делятся высота треугольника , опущенной из вершины , биссектрисой угла при основании ?

Высота, опущенная из вершины, образует прямоугольный треугольник и является в нем катетом... длину высоты можно вычислить...
гипотенуза = 10
известный катет (= половине основания) = 8
высота = 6 (по т.Пифагора)))
биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (это Теорема)))
обозначим отрезки (х) и (у)
получим систему:
х+у = 6
х/10 = у/8

8х = 10у
8х+8у = 48

18у = 48
у = 48/18 = 8/3 = 2_2/3
х = 6 - (8/3) = 4 - (2/3) = 3_1/3

Вариант решения. 
△ АВС - равнобедренный, высота  ВН в нем и медиана. ⇒
АН=НС
 АН=8,
ВН по т.Пифагора=6 
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. 
В треугольнике АВН биссектриса АО делит ВН в отношении:
ВО:ОН=10:8 
Пусть коэффициент этого отношения равен а 
ВН=18 а 
ВО=10 а
ОН=8 а
а=6/18 
ВО=10*6:18=3 и 1/3 
ОН=8*6:18= 2 и 2/3