Круг,вписаный в прямоугольный треугольник abc, касаясь гипотенузы ab в точке f. найти радиус вписаного круга, если ac=9см,af: fb=2: 3

∠С=90° ;AC =9 см,  AF/FB =2:3.
AF =2k ;FB =3k ⇒AB =5k .AC =AF +r  =2k+r  ;BC =FB +r =3k+r .

{2k+r =9 (см)  ; (2k+r)² +(3k+r)² =(5k)² (Теорема Пифагора) .
{2k+r =9   ; (2k+r)² +(2k+r +k)² =(5k)²  .
{2k+r =9  ; 9² +(9 +r)² =25k²  .
81 +81+18r+r² =25r²;
4r² -3r -27 =0 ;
D =3² - 4*4(-27) =441 =21² ;√D =21.
(корни разного знака k₁k₂ =-27/4 <0 )
r = (3+21) /8 =3(см).

ответ : 3 см .
Проверка :
2k+r =9⇒2k +3 =9⇒k =3.
AB=5k =5*3 ;
BC =3k+r =3*3+3 =12 =4*3;
AC =9 =3*3 .
r =(AB+BC-AB)/2 =(12+9-15/2)