Даны ∆ abc и точки m и n такие, что середина отрезка bm совпадает с серединой стороны ac, а середина отрезка cn – с серединой стороны ав. доказать, что точки м , n и а лежат на одной прямой.

АВСМ - параллелограмм,  т.к.  АО=ОС,  ВО=ОМ,  точка О - середина стороны АС.  (Признак параллелограмма:  если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам,  то это параллелограмм) Значит  АМIIBC,
Аналогично,  ACBN - параллелограмм,  а значит ANIIBC.  Через точку А  проходят две прямые,  параллельные третьей.  По аксиоме параллельности прямых  они совпадают.  Т.е.  точки  N,M,A лежат на одной прямой.