Докажите, что вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника.

Соединим вершины через одну.
Получится 3 равных равнобедренных треугольника ( по 2 стороны правильного шестиугольника, основанием является сторона нового треугольника) - они равны как имеющие 2 равных стороны и угол между ними.
Значит 3 стороны нового треугольника равны, т.е. он -правильный.