Четырёхугольник abcd в котором угол abc равен углу dbc равен 60 градусов угол adb равен 40 градусов угол bdc равен 70 градусов найдите величину угла между его диагоналямуглом между диагоналями считается наименьший из углов, образованный диагоналями.​

Задания и вопросы на сервисе повторяются. Решение этой задачи я уже давала. Повторяю его с незначительными изменениями.  
----------------

Обозначим точку пересечения биссектрисы  с АD буквой Н. 

В ᐃ АВD биссектриса ВН  ⊥ АD,⇒  ВН -  высота,⇒ 

ᐃАВD равнобедренный.   Поэтому ВН медиана и  делит АD пополам. 

АН=НD=84. 

АД медиана, значит,  ВD=DС. Так как  АВ=ВД, то АВ=ВD=DС, и ВС=2АВ. 

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

В ᐃАВС  биссектриса делит АС в отношении АВ:ВС=1:2 и АС=3 АE 

Проведем ВР параллельно АС  до пересечения с продолжением медианы АD в точке P.

ᐃ ВDР =ᐃ АDС  т.к. ВD=DС, углы при D равны как вертикальные, ∠СВP=∠ВСА как накрестлежащие  ⇒ ВР=АС=3 АE

Треугольники АНE и BНP прямоугольные и подобны по равенству углов

( ∠ ВPА=∠PАС как углы при параллельных АС и ВP и секущей ВС). 

АE:ВP=НE:ВН=1:3

ВН=3НE

ВЕ=4НЕ

НE=ВE:4=42

 ВН=3*42=126

Из ∆ АНE

АE=√(АН²+НE²)

АE=√(84²+42²)

Возвести большое число в квадрат и извлечь корень из него можно   разложением числа на множители.

АE=√(6²14²+3²*14²)=√14²(6²+3²)=14*3√5=42√5

АС=3*42√5=126√5

Из ∆ АВН

АВ=√(ВН²+АН²)

АВ=√(9²*14²+6²*14²)=√14²(9²+6²)=14*√(9*13)=42√13

ВС=2АВ=84√13

Найдены все три стороны. 

Сегодня такая же задача была на экзамене у меня.  Пусть O - точка пересечения медианы и биссектрисы.  Нам нужно найти стороны AB, BC и AC.
Медиана AD делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника : S ADC = S ADB = 1/2 S ABC.
 Соединим точки E и D . Отрезок ED будет являться медианой треугольника BEC значит S DBE = S EDC .

Рассмотрим треугольник ABD : 1) В нём углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса, но BO ещё и является высотой треугольника, так как BE ⊥ AD.
2)Поэтому треугольник ABD равнобедренный и AB = BD. 3) Медиана BO делит основание AD на два равных отрезка AO=OD=136 / 2=68.

 Рассмотрим треугольники ABE и DBE: 1) В них углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса . BE общая сторона , AB = BD 2) Треугольник ABE равен треугольнику DBE по первому признаку,поэтому S ABE = S DBE = S EDC = 1/3 S ABC.
 S ABE = 1/2 * BE * AO =1/2 * 136 * 68 = 4624.
S ABC= 3 S ABE = 4624 * 3 = 13872.
S ABD = 1/2 S ABC = 13872 / 2 = 6936.
S ABD= 1/2 * AD * BO = 6936 ===> 68 * BO = 6936 = => BO = 102.

Рассмотрим треугольник ABO : 1) В нём угол BOA = 90° так как BO ⊥ AD.
2) Поэтому треугольник ABO прямоугольный и по теореме Пифагора находим AB = √(BO² + AO²)=  √(10404 + 4624)= √15028= √(4 * 13 * 17 *17) = 34*√13.
Так как AD - медиана,то BD = DC = AB =34*√13. Поэтому сторона BC равна 2 * AB = 68 *√13.
Осталось найти последнюю сторону AC
Рассмотрим треугольник AEO:
1) В нём угол AOE=90 , OE= BE- BO = 136 -102 = 34.
2) Поэтому треугольник AEO прямоугольный , и по теореме пифагора находим гипотенузу AE . AE = √( 0E² + AO ²)= √( 1156 + 4624)=√5780=√(5* 4 * 17 * 17) = 17* 2 *√5 = 34*√5.

Так как BE - биссектриса, то  она делит сторону AC на отрезки, которые одинаково относятся к прилегающим им сторонам AB и BС , тоесть  AE/AB = EC/BC. (34 * √5) / (34 * √13) = EC / (68 * √13) . Если всё сократить и воспользоваться свойством пропорции получаем ,что EC =68 * √5 .
AC = AE + EC = (68 *√5) + (34 * √5 )=√5 * ( 68 + 34 ) = 102 * √5.

ответ : AB = 34 * √13, BC = 68 * √13, AC = 102 * √5.