Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть ОК=х
ОЕ=у
ОР=z
тогда:
S(АВО)=(х*а)/2
S(ВОС)=(у*а)/2
S(СОА)=(z*а)/2
S(АВС)=S(АВО)+S(ВОС)+S(СОА)=
(х*а)/2+(у*а)/2+(z*а)/2=
(а/2)*(x+y+z)                                  (1)
с другой стороны
S(АВС)=(а*h)/2
где h - высота
высота в равностороннем треугольнике равна  h=(а√3)/2   ⇒
S(АВС)=(а*h)/2=(а*((а√3)/2))/2=(а²√3)/4              (2)
приравняем (1) и (2)
(а/2)*(x+y+z)=(а²√3)/4
x+y+z=[(а²√3)/4]/(а/2)
x+y+z=(а√3)/2=h
сумма расстояний будет всегда равняться высоте