Втреугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. к окружности проведена касательная, пересекающая две стороны треугольника. какое наибольшее значение может быть у периметра треугольника, отсеченного этой касательной от исходного треугольника? ,

Периметр отсекаемого треугольника равен сумме длин отрезков стороны между вершиной треугольника и точкой касания вписанной окружности, который пересекает проведенная касательная. Эти отрезки, кстати, тоже равны между собой.
Вот как это выглядит на "математическом языке".
Пусть треугольник АВС, AB = 6; AC = 10, BC = 12; пусть вписанная окружность касается стороны АВ в точке K, AC в точке M, BC в точке N.
Пусть (для начала) касательная пересекает отрезки AK (в точке D) и AM (в точке E). И пусть она касается окружности в точке F.
По свойству касательной AK = AM; и по тому же свойству  DF = DK; EF = EM; поэтому AE + ED + AD = AK + AM = 2*AK;
Само собой, точно так же если касательная отсекает треугольник с вершиной B, то его периметр равен 2*BN; а если с вершиной C, то 2*CM; остается найти  эти отрезки.
Пусть (для краткости и прозрачности записи) AK = AM = x; BK = BN = y; CN = CM = z; тогда
x + y = 6;
x + z = 10;
y + z = 12;
откуда x = 2, y = 4, z = 8. (надо вычесть из третьего второе уравнение, и сложить с первым, получится 2y = 8)
поэтому максимальный периметр отсеченного треугольника равен 2z = 16;