Докажите, что одна любоя диогональ четырех угольника меньше половины его периметра

Пусть AC - диагональ четырехугольника ABCD. Тогда AC<AB+BC и AC<AD+DC. Сложив почленно эти неравенства, получим: 2AC<AB+BC+CD+DA. Отсюда следует, что AC<(AB+BC+CD+DA)/2.

Диагональ четырехугольника образует с его сторонами (в сумме полупериметр) треугольник. Условие существования треугольника - сумма длин двух сторон больше длины третьей. Значит сумма двух сторон четырехугольника меньше его диагонали.