Втреугольнике авс ав=2√58, ас=6√2, вс=8. найдите градусную меру угла а и угла в.

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.

Пусть P - произвольная точка

PK, PL, PM - перпендикуляры к сторонам треугольника ABC

 

По теореме Пифагора для треугольников PAK и PBK

PK^2 =PA^2 -AK^2 =PB^2 -BK^2 <=> PA^2 -PB^2 =AK^2 -BK^2

(Доказали, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций.)

PB^2 -PC^2 =BL^2 -CL^2

PC^2 -PA^2 =CM^2 -AM^2

Сложим:

AK^2 -BK^2 +BL^2 -CL^2 +CM^2 -AM^2 =0 <=>

AK^2 +BL^2 +CM^2 =CL^2 +BK^2 +AM^2

Если перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, то выполняется это равенство.

(Обратное док-во: разность квадратов наклонных для двух пересекающихся перпендикуляров подставляем в доказанное равенство - получаем разность квадратов наклонных для третьего отрезка - тогда он также является перпендикуляром.)

 

Проверим данные из условия

AK=BK=6, BL=AM=1

CM= {9, 11}

CL= {7, 9}

CM^2 =CL^2 в одном случае:

точка M на стороне, точка L на продолжении стороны.