Дан выпуклый четырехугольник abcd и точка m внутри него. оказалось, что все тре-угольники abm, bcm, cdm и dam – равнобедренные. докажите, что среди отрезков am, bm, cm и dm найдутся хотя бы два одинаковых по длине.

Рассмотрим треугольник ABM и MCD.
Треугольник ABM = треугольнику MCD т.к. ab=cd, bm=mc, ∠b=∠c ⇒ 
am=md т.е. треугольник amd - равнобедренный.