Пусть ABCD - ромб, в который вписана окружность касающаяся стороны AB в точке K.
Пусть O - центр окружности, тогда OK - ее радиус.
Длина окружности равна l = 2pi*R = 24pi => R = 12 см. Т.о. OK = 12 см.
Обозначим длину AK за x => по условию задачи KB = x+10.
Рассмотрим треугольники AKO и OKB. Они подобны по первому признаку подобия.
=> AK:OK = OK:KB <=> x/12 = 12/(x+10) <=> x^2 + 10x - 144 = 0
Это уравнение имеет единственное подходящее решение:
D = 100 + 4*144 = 676 => x1 = (-10 + 26)/2 = 8, x2 = (-10-26)/2 = -18 => AK = 8 см
=> KB = 8 + 10 = 18 см => сторона ромба равна 8 + 18 = 26 см.
Высота ромба равна диаметру окружности, то есть 2R = 24 cм.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону =>
Для нашего ромба получаем, что площадь равна S = 26*24 = 624 кв. см.
ответ: 624 кв. см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований ( средней линии) на высоту.
S= ВН*(АД+ВС):2
Сделаем рисунок к задаче.
Обозначим вершины трапеции АВСД.
Меньшее основание обозначим ВС, большее АД
Стороны трапеции делятся каждая на отрезки от вершин ( точки вне окружности) до точки касания.
Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны.
Меньшее основание от вершин тупых углов до точки касания по 8 см, и равно 8+8=16см.
Большее основание от вершин острых углов равно 18+18=36 см
Полусумма оснований равна
(36+16):2=26 см
Теперь нужно найти высоту трапеции.
Опустим из вершины тупого угла высоту ВН на АД.
Расстояние от угла большего основания равнобедренной трапеции до основания высоты, опущенной из вершины меньшего основания, равно полуразности оснований.
АН=(36-16):2=10 см
Высоту ВН найдем по теорем Пифагора:
ВН² =АВ²-АН²
ВН² =(8+18)²-10²=
ВН=24 см
S= ВН ∙(АД+ВС):2
S= 24 ∙26= 624 см²
