Втреугольнике abc известно, что ab = 12, ac = 15, bc = 18. найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины наибольшего угла.

Дано :
AB = 12 ;  * * *  3*4  * * *
AC = 15 ; * * *   3*4 * * *
BC = 18 . * * *   3*6 * * *
∠BAL = ∠ CAL  (BL биссектриса  ∠A ,    L ∈  BC  ) .

AL  - ? 

большой угол это ∠A (против большей стороны лежит большой угол) .
Используем свойство биссектрисы треугольника  ( биссектриса  треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам ) :
BL / CL =AB / AC   ⇔ BL / CL =4 / 5 ;   BL=4k ;  CL= 5 k   ⇒
BL +CL= BC⇔9k =18  ⇒k =2  . BL=4k  =8 ;  CL =5 k =10 . 
Известно :
AL²  =AB *  AC - BL *CL ⇔AL²  =12*15 - 8*10 =100 ⇒ AL =10.

ответ  :  10 .