Как можно доказать, что любой из катетов всегда больше высоты?

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠С = 90°. Из вершины угла С проведем высоту, перпендикулярную к стороне АВ

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKB

BC - гипотенуза, CK - катет. по определению гипотенуза больше катета, значит CK < BC

Аналогично для прямоугольного треугольника AKC: AC - гипотенуза, значит CK < AC