Впрямоугольном треугольнике авс катет ас=3см. окружность диаметром ас пересекает гипотенузу ав в точке м в отношении ам: мв=9: 16. найдите площадь треугольника авс.

Угол АМС - прямой (опирается на полуокружность).
По свойству высоты из прямого угла МС² = АМ*МВ.
Примем коэффициент пропорциональности деления гипотенузы за х.
Тогда МС² = 9х*16х = 144х².
Рассмотрим треугольник АМС.
АС² = АМ² + МС².
3² = (9х)² + 144х²,
81х² + 144х² = 9,
225х² = 9,
х = √(9/225) = 3/15.
Находим длины сторон треугольника АВС.
АВ = (9+16)*(3/15) = 25*3/15 = 5 см.
ВС = √(25-9) = √16 = 4 см.
S(АВС) = (1/2)*3*4 = 6 см².