Плоскостью верхнего основания вписанного цилиндра мысленно рассечём эту пирамиду.
Если сечение цилиндра- квадрат, то его высота равна диаметру и равна стороне верхнего основания получившейся усечённой пирамиды: h=d=a₁
Обозначим этот параметр за Х. Сумма объёмов усечённой пирамиды и "отсечённой верхней части" равна объёму исходной пирамиды.
Тогда:
Х(64+8Х+Х²) + Х²(16-Х) = 64*16
3 3 3
64Х+8Х²+Х³+16Х²-Х³=1024
24Х²+64Х-1024=0
3Х²+8Х-128=0
Решаем квадратное уравнение (решение уж расписывать не буду), получаем:
Х₁=16/3 Х₂=-6 - не удовлетворяет условию задачи
Таким образом диаметр и высота искомого цилиндра равны:
d=h=16/3
V = Sh= πd²h = π(16/3)³ ≈ 119,1 см³
4 4
P. S. я надеюсь, ты не забудешь отметить это как лучшее решение?!.. ;))
1))) построим проекцию прямой FK на плоскость AKC: из F опустим перпендикуляр FH на AC
искомый угол ---угол HKF
найдем FH: треугольник FHC прямоугольный, угол HCF = 45 град., FC=2 => HF = FC*sin45 = 2*корень(2)/2 = корень(2)
найдем КF: треугольник ОКF прямоугольный, ОF=2 => КF = корень(4+4) = 2*корень(2)
sin(HKF) = HF/KF = корень(2) / 2*корень(2) = 1/2
угол HKF = 30 град.
2))) чтобы построить сечение, перпендикулярное ADC1, нужно провести перпендикуляр из K к DC1 и продолжить его до пересечения с DD1 (H), получится треугольник EKH
DK = DH, т.е. KH соединяет середины сторон квадрата DD1C1C, EK соединяет середины сторон квадрата, получившийся треугольник EKH равносторонний
найдем EK: EK = корень(2)
Периметр P = 3корень(2)
