Определите вид четырехугольника abcd с вершинами a(2; 3; 4), b(4; -2; 2), c(0; -1; -2), d(-2; 4; 0).

Дан четырехугольник ABCD с вершинами:
A(2; 3; 4), B(4; -2; 2), C(0 ;-1; -2), D(-2; 4; 0).

 Расчет длин сторон
АB = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²) = √33 ≈ 5,7446,
BC = √((Хс-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = √33 ≈ 5,7446,
CД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²+(Zд-Zс)²) =  √33 ≈  5,7446,
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²+(Zд-Zа)²) = √33 ≈ 5,7446.
Стороны равны.
Находим диагонали
АС = √((Хс-Ха)²+(Ус-Уа)²+(Zс-Zа)²) = √56 ≈ 7,483,
BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²+(Zд-Zв)²) = √76 ≈ 8,7178.
Находим угол между диагоналями
х у z   
Вектор c(АС)    (-2; -4; -6) = √56 ≈  7,483315.   
Вектор d(ВД)     (-6; 6; -2)  = √76 ≈  8,717798.
cos α (12-24+12)/((√56*√76) = 0.
α = 90 градусов.

ответ: АВСД - ромб.