Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. при этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней. а) докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины. б) найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Диагональ куба 13√3
Шары равны. Оба касаются по 3 разных грани куба. 
Картинка симметрична относительно главной диагонали куба. 
Шары касаются друг друга в центре куба.
Центр каждого шара отстоит от конца диагонали на расстояние R√3 - так как касается каждой грани, и отстоит от каждой оси куба на R.

Главная диагональ куба складывается из 
13√3  = R√3 + R + R + R√3 

Откуда 
13√3= (2√3+2)R
R= 13√3/(2√3+2)=13√3(√3-1)/4