Подробное решение ! 30 ! через некоторую вершину равнобедренного треугольника провели прямую, которая делит данный треугольник на два неравных равнобедренных треугольника, один из которых подобен данному. найдите углы треугольника. сколько решений имеет ?

Задача имеет два решения.

1) Треугольник остроугольный. Обозначим  прямую, которая делит исходный треугольник на два равнобедренных, ВК.

Треугольники АВС и КВС подобны, ∠ВКС=∠КСВ. 

Примем ∠ВАК=∠АВК=а.

Угол ВКС - внешний угол треугольника АВК. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним .⇒

Угол ВКС= 2а.

Тогда угол АСК=ВКС=2а, угол АВК=АСВ=2а. 

Сумма углов ∆ АВС=5а=180°, откуда ВАС=а=36°. ∠В=∠С=72°

2) Равнобедренный треугольник ВАС тупоугольный.  

Углы АВК=АСК. ∆ АКС подобен ∆ ВАС⇒∠КАС=∠АСК

Примем углы А и С равными а. ⇒

Угол АКВ - внешний для АКС и равен 2а,  ∠ВАК=∠АКВ=2а

Тогда сумма углов ∆ ВАС=а+2а+а+а=5а ⇒

5а=180°. а=36°, откуда ∠В=∠С=36°, угол А=108°