Через точки p,k и середину m отрезка pk проведены параллельные прямые,пересекающие некоторую плоскоть β‎ в точках p¹,k¹,m¹ соответсвенно.найдите длину отрезка pp¹,если mm¹=8см,kk¹=10 причем отрезок pk не пересекает плоскость β‎

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум  углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:

Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:

Следовательно стороны в два раза больше:
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:

ответ: 2/3

Сделаем рисунок к задаче.
Треугольник АВС - тупоугольный,
центр описанной окружности находится вне его. 
Углы при основании АС равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным 120° равны (180°-120°):2=30°. 
Проведем диаметр ВД как продолжение высоты треугольника АВС.
Соединим А и С с точкой Д пересечения диаметра и окружности.
Углы ВАД и ВСД прямые - опираются на диаметр. 
Углы САД и АСД равны 60° (90°-30°=60°.
Можно также вспомнить, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 °, а четырехугольник АВСД безусловно вписанный, поэтому угол АДС=60°.)
Треугольник АДС - равносторонний - все его углы равны 60°,
следовательно, все стороны равны. 
В треугольнике АВН сторона АН=АВ*cos(30)=√3 отсюда АС=АД=СД=2√3 
ДН=АС*sin(60)=(2√3)*√3):2=3 см 
Диаметр описанной окружности равен сумме высот треугольников
 АВС и АСД.
 Высота ВН как противолежащая углу 30° равна половине АВ=1 см
Диаметр ВД=3+1=4 см
---------------
Более короткое решение -
Найдя величину угла АДС=60°, найдем величину угла АДВ=30°. 
АВ противолежит углу АДВ, равному 30°, и потому равна половине диаметра ВД. 
Отсюда ВД=2*2=4 см